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3000 BCE
"Postulado das paralelas"
Denominado pai da geometria, Euclides de Alexandria, organizou em sua obra "os elementos", o conhecimento de forma axiomática, assumindo 5 postulados que formam o alicerce do estudo geométrico. Por vários anos, matemáticos aceitaram os postulados de Euclides e vários teoremas foram criados a partir deles, porém, matemáticos dos séculos XVIII e XIX começaram a estudar detalhadamente tais axiomas, especialmente, o quinto, conhecido por "postulado das paralelas", pois para eles, não era tão óbvio. -
Descoberta das geometrias alternativas
Muitos matemáticos tentaram provar o quinto postulado de Euclides, mas não obtiveram sucesso. Em 1733, o Italiano Gerolamo Saccheri, na tentativa de provar que a geometria Euclidiana não era uma verdade absoluta, descobriu outras duas geometrias. Nelas, Saccheri aceitou os quatro primeiros postulados, mas usou alternativas diferentes para o quinto. As duas geometrias ficaram conhecidas como: geometria hiperbólica e geometria elíptica ou esférica. -
Geometria Hiperbólica
No estudo da geometria hiperbólica, onde o plano pensado deve ter alguma curvatura, dois matemáticos se destacam ao publicarem suas obras em meados de 1829. Lobachevsky e János Bolyai descreveram uma geometria tridimensional, neste mundo tridimensional, a linha e o ponto definem o plano. Neste plano, há infinitas linhas através do ponto que não encostam na linha, ou seja, por um ponto P fora de uma reta, existe mais de uma reta paralela à reta dada. -
Ângulos internos de um triângulo.
No estudo da superfície hiperbólica, na qual o plano possui uma curvatura negativa, foi observado que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que 180º graus. -
Pensamento Riemanniano.
Os pensamentos de Lobachevsky e Bolyai deixaram a desejar, pois ambos partiram de um pressuposto sobre paralelas, contudo, os trabalhos não mostravam se tal pressuposto era possível. Tudo deveria ser repensado, algo que aceitasse a antiga geometria e as novas ideias deveria ser encontrado. O homem que fez isso foi aluno de Gauss, Bernhard Riemann, que chegou à conclusão que se pode fazer geometria em qualquer superfície, assim, ele deu início à uma nova geometria: a geometria elíptica. -
Geometria Elíptica
Com a descoberta de Riemann,esta nova geometria aceitava todas as demais, a geometria Euclidiana agora é apenas uma de muitas: a de superfície plana. Diferente da hiperbólica, aqui, por um ponto fora de uma reta, não passa nenhuma reta reta paralela à reta dada, ou seja, na geometria elíptica, duas retas quaisquer sempre se cruzam. Sendo este tipo de plano com curvatura positiva, a soma dos ângulos internos de um triângulo sobre um plano esférico é maior que 180º graus e o plano é bidimensional.
