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Diofanto de Alexandria é considerado como o maior algebrista grego. Na história da ludição, este autor desempenha um papel semelhante ao que Euclides (360-295 a.C.) tem na Geometria e Ptolomeu na Astronomia. Entre vários livros que escreveu, o mais importante destes é "Aritmética". Neste introduz uma notação simbólica com símbolos diferentes para o quadrado de uma incógnita, para o cubo e assim sucessivamente. Equações Diofantinas são equações cujas soluções são números inteiros ou racionais.
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Nasceu em uma rica família originária da Lícia. Seu pai era um advocado que, por motivo de trabalho, se havia estabelecido na então capital do Império Romano, e estudou retórica, filosofia e matemática em Alexandria, retornando mais tarde a Constantinopla onde, por um curto período, tornou-se um advogado de sucesso.
Elaborou uma primeira tentativa de demonstração do axioma 5. Mas sua demonstração usa o fato de: "Retas paralelas são equidistantes", o que é equivalente ao axioma 5. -
O povo hindu utilizava o ábaco, que eram meros sulcos feitos na areia, onde colocavam pedras, para realizar seus cálculos. Cada sulco era a representação de uma ordem decimal. Para representar o número 100, deixava-se o 1º e 2º sulcos das unidades e dezenas vazio e colocava-se 1 pedra no terceiro sulco das centenas. Então surge a necessidade de representar o sulco vazio, que foi representado pelo desenho de um ponto em negrito que chamaram de “sünya”, que significava vazio. Assim surge o zero.
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Brahmagupta (628 d.C.) foi um grande matemático indiano, considerado o pai da aritmética. Em seu livro Brahmasphuta Siddhanta, ele utiliza os numerais árabes inclusive o zero, nas operações fundamentais. Além disso, popularizou o conceito deo zero, categorizando-o como samkhya, ou seja, número. No séc. IX, Mohammed ibm-Musa Al-khowarizmi, após ter aprendido a realizar cálculos com o livro de Brahmagupta, escreveu o livro Al arqan al Hindu, adotando os numerais hindus na matemática muçulmana.
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O livro mais famoso de Bhaskara Akaria é o Lilavati, obra elementar dedicada a problemas simples de aritmética, geometria plana (medidas e trigonometria elementar ) e combinatória. No século XII, o matemático Bhaskara Akaria se dispôs a resolver esta equação e publicar ao mundo suas descobertas. No Brasil, a fórmula é conhecida como Fórmula de Bhaskara, mas em outros países é conhecida simplesmente como a fórmula geral para resolução da equação polinomial do segundo grau.
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Os Elementos de Euclides é um tratado matemático e geométrico consistindo de 13 livros escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria por volta de 300 a.C. Os Elementos de Euclides é o livro mais bem sucedido e influente já escrito. Tendo sido colocado em tipos primeiramente em Veneza em 1482, é um dos primeiros trabalhos de matemática e ser impresso depois da invenção da prensa móvel e perde somente para a Bíblia em número de edições publicadas, com o número batendo nas mil edições.
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Matemáticos consideram Descartes muito importante por sua descoberta da geometria analítica. A geometria analítica de Descartes apareceu em 1637. Até Descartes, a geometria e a álgebra apareciam como ramos completamente separados da Matemática. Descartes mostrou como traduzir problemas de geometria para a álgebra, abordando esses problemas através de um sistema de coordenadas. A teoria de Descartes forneceu a base para o Cálculo de Newton e Leibniz, e então, para muito da matemática moderna.
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Fermat inventou a Geometria Analítica em 1629 e descreveu suas ideias em um trabalho não publicado intitulado Introdução aos lugares geométricos planos e sólidos, que circulou apenas na forma de manuscrito. Neste trabalho Fermat introduziu a ideia de eixos perpendiculares e descobriu as equações gerais da reta, circunferência e equações mais simples para parábolas, elipses e hipérboles, e depois demonstrou que toda equação de 1º e 2º grau pode ser reduzida a um desses tipos.
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Não usou a idéia de equidistância entre retas trabalhada pelos matemáticos que o precederam e apresentou uma demonstração do quinto postulado baseando-se nno seguinte postulado : “Dado um triângulo, é possível contruir um outro que lhe é semelhante, com lados arbitrariamente grandes”. Porém, seu postulado é equivalente ao quinto postulado. Wallis foi também um importante historiador da matemática. O seu livro Treatise on Algebra tem uma enorme riqueza histórica.
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Contribuiu decisivamente para a criação de dois novos ramos da matemática: a Geometria Projetiva e a Teoria das probabilidades. Em Física, estudou a mecânica dos fluidos, e esclareceu os conceitos de pressão e vácuo ampliando o trabalho de Torricelli. É ainda o autor da primeira máquina de calcular mecânica, a Pascaline, e de estudos sobre o método científico. Como matemático, interessou-se pelo cálculo infinitesimal, pelas sequências, tendo enunciado o princípio da recorrência matemática.
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Foi um cientista inglês, mais reconhecido como físico e matemático, embora tenha sido também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. Sua obra, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, é considerada uma das mais influentes na história da ciência. Publicada em 1687, esta obra descreve a lei da gravitação universal e as três leis de Newton, que fundamentaram a mecânica clássica. As leis explicavam vários comportamentos relativos ao movimento de objetos físicos.
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As contribuições do padre jesuíta, Saccheri, foram mais importantes que as anteriores. A figura fundamental em seu trabalho é chamada de quadrilátero de Saccheri, que consistem em um quadrilátero ABCD em que os ângulos da base, ângulo A e ângulo B, são retos e o lado AC é congruente ao lado BD.
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Fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e grafos. Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática. Além disso ficou famoso por seus trabalhos em mecânica, óptica, e astronomia. É considerado um dos mais proeminentes matemáticos do séc. XVIII. Foi um dos mais prolíficos matemáticos, calcula-se que toda a sua obra reunida seria entre 60 e 80 volumes.
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Deu continuidade ao trabalho de Saccheri na tentativa de também encocntrar uma contradição para a hipótese do ângulo agudo e chamou a atenção para a teoria das paralelas, tenso sue trabalho escrito em 1766 e publicado, após sua morte, por G Bernoulli e C.F. Hindenburg. Foi um dos criadores da fotometria e autor de trabalhos inovadores sobre geometrias não euclidianas.
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Conhecido pela criação da geometria descritiva. Sem ela – originalmente usada na engenharia militar – a enorme expansão da maquinaria do séc. XIX teria, provavelmente, sido impossível. Contribuiu para o avanço da matemática pela sistemática aplicação do cálculo para a investigação da curvatura das superfícies, preparando o caminho para Gauss que, por sua vez inspirou Riemann, que mais uma vez desenvolveu a geometria conhecida por seu nome (Geometria Riemanniana) na teoria da relatividade.
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Foi o maior matemático de sua época e contribuiu muito para o desenvolvimento da nova geometria. Na verdade, ele foi o 1º a designar a nova geometria como não Euclidiana. Inicialmente, tentou provar o quinto postulado usando o método redução ao absurdo, como fizera antes Saccheri e Lambert. Mas na 2ª década do séc. XIX, Gauss começou a deduzir uma nova geometria, formulando ideias e teoremas.
No seu trabalho indicava a existência de uma geometria onde não era válido o postulado das paralelas. -
Nikolai afirmava que por um ponto exterior a uma reta passa mais do que uma paralela e submeteu um artigo pela Academia de Ciências de S. Petersburgo que inicialmente foi rejeitado. Na verdade Lobachevsky e Gauss desenvolveram a geometria não Euclidiana ao mesmo tempo, mas Lobachevsky foi o primeiro a comunicar suas descobertas e não temeu o impacto que seu trabalho poderia causar na teoria Kantiana. O reconhecimento de seu trabalho veio apenas após sua morte, denominado Geometria Hiperbólica.
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Beltrami provou definitivamente que não era possível provar o quinto postulado, mostrando que a geometria hiperbólica é tão consistente quanto a geometria Euclidiana. Sendo assim, não poderia haver contradição.
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Reconheceu o trabalho de Lobatchevsky e anunciou o surgimento de uma nova geometria denominada Geometria Hiperbólica.
A geometria euclidiana não era mais do que o estudo do grupo das transformações euclidianas, a geometria hiperbólica não era mais do que o estudo do grupo das transformações hiperbólicas, desmitificando assim as novas geometrias. Ainda no campo da geometria, Klein estudou a hoje chamada garrafa de Klein, uma superfície fechada não orientável.
