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A descoberta grega que abalou a fé pitagórica de que “Tudo é número”, iniciando a primeira “crise” da matemática, foi a incomensurabilidade. Os pitagóricos se depararam com os números irracionais e perceberam que os números que eles conheciam não eram suficientes para explicar a natureza.
descoberta da incomensurabilidade foi para os gregos um “escândalo lógico” que tentaram manter em sigilo. -
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A teoria das proporções eudoxiana constitui a base do livro V dos Elementos de Euclides (séc. III a. C).
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O surgimento da expressão “número real” se deu com René Descartes (1596-1650) em 1637, quando este rejeitou as raízes de equações expressas por números imaginários e tal expressão ainda é utilizada até hoje.
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O desenvolvimento do Cálculo no final do século XVII por Gottfried Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1642-1727) foi um passo notável para a matemática, porém surgiram críticas em relação aos seus fundamentos ao ter em vista imprecisões nas explicações de Leibniz e Newton. No entanto, as críticas aos métodos infinitesimais foram praticamente suprimidas em decorrência da grande aplicabilidade do Cálculo, principalmente à Mecânica, o que foi muito explorado nos estudos do século XVIII.
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A obra The Analyst (1734) de Berkeley é considerada a mais importante oposição, na qual ele revelou um grande número de argumentos frouxos, afirmações vagas e contradições claras na doutrina dos infinitesimais.
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D’Alembert observou que era necessária uma teoria de limites em 1754, mas não houve um desenvolvimento sólido dessa teoria durante muito tempo.
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Em 1797, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) assumiu que uma função contínua pode sempre ser expressa como uma série de Taylor. No início do século XIX, estudiosos começaram a questionar a validade do princípio de Lagrange ao ter em vista absurdos em contradições no uso das séries infinitas. Estes questionamentos impulsionaram a aritmetização da análise, um movimento que buscou fundamentar o conceito de número.
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Somente em 1821 com Cours d’analyse, Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) “pôs em prática com êxito a sugestão de d’Alembert de desenvolver uma teoria de limites aceitável e definir então continuidade, diferenciabilidade e integral definida em termos de conceito de limite”
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A matemática do século XIX passava por um processo de formalização, conhecido como aritmetização da análise, termo cunhado por Felix Klein (1849-1925) em 1895.Tal movimento teve como objetivo “a separação de conceitos puramente matemáticos tais como número, correspondência e conjunto, de ideias intuitivas, que a matemática adquiriu através de uma longa associação com a geometria e a mecânica.”