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Robinson descubrió y desarrolló el análisis no estándar como una teoría rigurosa de los infinitesimales que une la lógica matemática con el gran cuerpo de la historia y la matemática moderna.
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Demostró que el sistema de los números naturales no podía ser caracterizado por ningún conjunto que tuviese sus mismas propiedades aritméticas, que fuesen formuladas en el cálculo de predicados de primer orden.
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Las definiciones de Peano fueron consideradas después por Jordan, con la variante de que éste utiliza polígonos que son unión de rectángulos con lados paralelos a los ejes. Esta variante tenía la ventaja de poder generalizarse fácilmente a conjuntos de espacios de dimensión mayor que dos. Basándose en ellos, Jordan define en 1893 la integral de Riemann de funciones de varias variables definidas sobre “conjuntos medibles”, conjuntos cuyas áreas interior y exterior coinciden.
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Definió el área interior y exterior de un conjunto del plano como lo que hoy se llama contenido de Jordan, y probó la relación entre las integrales superior e inferior de una función con el área del recinto plano limitado por la gráfica de una función positiva y el eje de abscisas, en el intervalo de definició de la función. En 1889 definió los axiomas delos números naturales y sus propiedades.
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Prueba que el teorema fundamental del cálculo vale para todas esas nuevas funciones, una función acotada es integrable si, y sólo si, los puntos de discontinuidad se pueden recubrir por un número finito de intervalos de longitud tan pequeña como se quiera. Estudió las ecuaciones de derivadas parciales y perfeccionó la teoría de la integral de Riemann.
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Prueba que el teorema fundamental del cálculo vale para todas esas nuevas funciones, una función acotada es integrable si, y sólo si, los puntos de discontinuidad se pueden recubrir por un número finito de intervalos de longitud tan pequeña como se quiera. Estudió las ecuaciones de derivadas parciales y perfeccionó la teoría de la integral de Riemann.
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Teoría sobre números irracionales. 1854 pasó de los naturaes a los racionales, 1972 se construyeron los reales.Su primer escrito importante, publicado en 1841, fue un ensayo sobre funciones elípticas.
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Estudió la teoría de las variables complejas y, en particular, lo que hoy se denominan superficies de Riemann, e introdujo en la misma los métodos topológicos. Contribuciones: integrales de Riemann, aproximación de Riemann, método de Riemann para series trigonométricas, matrices de Riemann de la teoría de funciones abelianas, funciones zeta de Riemann, hipótesis de Riemann, teorema de Riemann-Roch, lema de Riemann-Lebesgue, integrales de Riemann-Liouville de orden fraccional...
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Determinó la definición actual de variable: "la variable y es función de la variable x cuando a cada valor de x en un intervalo le corresponde un valor de y”. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano
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Publica su memoria sobre la transmisión del calor, donde se obtienen series trigonométricas (que se suponen convergentes) para funciones mucho más arbitrarias que las entonces admitidas. desarrolló la denominada «serie de Fourier», de notable importancia en el posterior desarrollo del análisis matemático, y con interesantes aplicaciones a la resolución de numerosos problemas de física. La demostración de su teorema sobre el cálculo de las raíces de una ecuación algebraica no fue concluída.
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Afirmó que "una variable es una magnitud que va tomando sucesivamente muchos valores diferentes” Cauchy ataca y define con precisión el concepto de límite de una función y el de continuidad. Igualmente aclara los infinitamente pequeños como las variables con límite cero, y los infinitamente grandes como las variables cuyo valor crece indefinidamente (“más allá de toda cota”) y converge a ∞.
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Definió la Continuidad: "la función f(x) es continua en un intervalo si, para cada valor de x en ese intervalo, la diferencia f(x + ω) − f(x) se puede hacer tan pequeña como se quiera, tomando ω suficientemente pequeño”. Dió la condición que hoy recibe el nombre de condición de Cauchy. Además da la impresión de que tenía unas ideas absolutamente claras sobre la convergencia.
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Laserie hipergeométrica; este es el primer estudio serio y completo sobre las condiciones en que converge una serie concreta de funciones que depende, además, de tres parámetros. La curva de Gauss, campana de Gauss o función gaussiana es una función matemática que describe la distribución de Gauss.
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Empezaron a aclarar el problema de la convergencia y a criticar la vaguedad de las razones previas sobre el uso de las series no convergentes.
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Sus aportes: Teorema del valor medio de Lagrange; padre y creador del cálculo de variaciones; Multiplicadores de Lagrange; Polinomio de Lagrange; Creó la idea de ecuaciones generalizadas de movimiento. Solución completa de una ecuación binomial de cualquier grado. Contribuyó al cálculo de diferencias finitas con la fórmula de interpolación de Lagrange. Junto con Laplace introdujeron las integrales múltiples en general y estudiaron el cambio de variable en ellas.
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Añade una nueva rama de las matemáticas, el cálculo de diferencias finitas, inventó la integración por partes, y descubrió la famosa fórmula conocida como la expansión de Taylor. Realizó importantes contribuciones al Cálculo, como la teoría de diferencias finitas, el desarrollo la serie de Taylor y el teorema que lleva su nombre.
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En el período que va desde el último tercio del siglo XVII, hasta mediados del siglo XIX, el cálculo basado en el análisis de los infinitamente pequeños e infinitamente grandes, logró cohabitar con las principales teorías matemáticas de la época, a las que sirvió de paradigma. Es el reinado de Leibniz, Newton, los Bernouilli, Euler, Lagrange, d'Alambert, Fourier, Gauss, Cauchy y Riemann, entre tantos.
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Su investigación teórica fue en Teoría de números, análisis infinitesimal incluyendo ecuaciones diferenciales y cálculo de variaciones. Introdujo las notaciones: f(x) para una función (1734), e para la base de los logaritmos naturales (1727), i para la raiz cuadrada de -1 (1777), π para pi, la notación abreviada de sumatorios (1755) y lo que se conoce conmo el teorema de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas cruzadas. Afirma que las series no convergentes tienen un valor definido.
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Demostró que una masa de fluido homogéneo en rotación adquiere la figura de un Elipsoide, y estableció una teoría correcta de los máximos y mínimos de las curvas. En la obra principal, A Treatise of Fluxions, rebatió las objeciones de George Berkeley al cálculo diferencial, tratando de desarrollar propiedades de las fluxiones desde una base axiomática. En dicha obra aparece la famosa fórmul la cual fue nombrada como él.
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Reglas de diferenciación para funciones algebraicas. Se sirve del cálculo de diferencias para encontrar las tangentes a todo tipo de líneas curvas. Las caústicas por reflexión y por refracción.
Resolvió el problema de la curva isócrona, que es una curva tal que cualquier punto cae sobre ella con movimiento uniforme sobre la vertical. La regla de L'Hôpital permite eliminar ciertas indeterminaciones en el paso al límite del cociente de dos funciones, aplicando el cálculo diferencial. -
Método de Rolle, sin demostrarlo.
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Fue el primero en usar el término integral. Utilizó tempranamente las coordenadas polares y descubrió el isócrono, curva que se forma al caer verticalmente un cuerpo con velocidad uniforme. En una disputa matemática con su hermano Johann, inventó el cálculo de las variaciones. Además trabajó en la Teoría de la Probabilidad.
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Inventó el cálculo infinitesimal, sin conocer trabajo alguno de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces, es decir, la que actualmente es utilizada en el cálculo diferencial e integral . También inventó el sistema binario, fundamento virtual de todas las arquitecturas de las computadoras actuales. Publicó un ensayo: De geometría recóndita et análysi indivisibilium atque infinitorum.
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Le dió gran importancia al problema de las tangentes y del problema inverso, Interpreta la derivada como el cociente de los infinitésimos dy/dx , aunque es incapaz de aclarar qué son dichos infinitésimos. Enuncia el criterio de convergencia de las series alternadas que lleva su nombre.
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Desarrolló un método de determinación de tangentes que encierran aproximados métodos de cálculo, fue el primero en reconocer que la integración y la diferenciación son operaciones inversas. Barrow segu´ıa con la idea griega de que la tangente era la recta que cortaba a la curva en un solo punto.
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Introdujo las “fluxiones”, que es lo que hoy se conoce con el nombre de derivadas
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Fue un matemático inglés a quien se atribuye en parte el desarrollo del cálculo moderno. Fue un precursor del cálculo infinitesimal (introdujo la utilización del símbolo ∞ para representar la noción de infinito). Publicó el libro: Arithmetica infini-torum. había identificado los números racionales con los decimales periódicos (1696).
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Newton redactó sus primeras exposiciones sistemáticas del cálculo infinitesimal, que no se publicaron hasta más tarde. En 1664 o 1665 había hallado la famosa fórmula para el desarrollo de la potencia de un binomio con un exponente cualquiera, entero o fraccionario. En 1671 publicó: Tractatus De Metho-dis Serierum Et Fluxionum y En 1675 publicó: Análysi per Aecuationes Numero Terminorun Infinitas.
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El problema del cálculo de la longitud de una curva (la rectificación). Rectifica la parábola semicúbica y^2 = x^3. Ella es el único camino posible para una partícula que, cuando se mueve bajo la acción de la gravedad atraviesa intervalos verticales iguales en tiempos iguales.
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Justificó que el espacio recorrido por un móvil era igual al área comprendida entre la curva de la velocidad y el eje del tiempo. Demostró que la aceleración es la misma para todos los cuerpos en caída libre. Esta idea es muy importante, dado que unificaba dos problemas de orígenes bien diferentes: la longitud de una curva y el área bajo otra.
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Obtuvo un método para hallar la tangente a una curva definida por un polinomio: y = f(x) = a0 + a1x + ... + anx n , método que, en realidad, no hacía ninguna referencia al paso al límite, El punto de vista de Fermat no es, por tanto infinitesimal.
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Desarrolló un método de lo indivisible, el cual llegó a ser un factor en el desarrollo del Cálculo Integral. Su método consiste en comparar proporcionalmente los indivisibles de volúmenes o áreas de cuerpos o figuras por encontrar, con los respectivos indivisibles de figuras o cuerpos cuyas áreas o volúmenes se conocen. Para calcular volúmenes, cortaba los cuerpos y media las áreas de las secciones.
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El problema geométrico que más desea solucionar es el de las tangentes. consiste en trazar la circunferencia con centro en el corte de la normal a la curva (en el punto que se considere) con el eje de abscisas y que pase por el punto en cuestión.
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Estudió y construyó las tablas de logaritmos, corregida por BRIGGS
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Realizó aportes a la óptica ayudando a los miopes y a las personas con vista cansada al formular la Ley Fundamental de la Fotometría, descubriendo la reflexión total y formulando la primera Teoría de la Visión moderna; en matemáticas desarrolló un sistema infinitesimal que fue un antecesor del Cálculo. Encontró que el paralelepípedo de base cuadrada y volumen máximo inscrito en una esfera es el cubo. La lectura actual de este hecho es que la derivada se anula en un máximo relativo.
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Construyó las tangentes a las cónicas, el punto de vista griego era “estático”: la tangente era la recta que cortaba a la curva en un sólo punto, “dejándola a un lado”. No había, pues, proceso de paso al límite.
